Por Oscar Luna
La noticia difundida por la NASA, nos dejó asombrados, y pusimos rápidamente manos y mentes a la obra para estudiar el comportamiento de este revolucionario sistema planetario. Acompáñenos a ver cómo funciona un mundo ciencia ficción, que ahora se hace realidad en la constelación del Cisne. En esta nota se incluye un glosario de términos específicos.
KEPLER 16(AB)b ¿Qué es y cómo se mueve un sistema circumbinario?
Los Sistemas Circumbinarios difieren de los sistemas planetarios convencionales debido a que sus planetas orbitan en torno a dos astros principales es decir, dos "soles", en vez de uno como lo hace nuestro propio Sistema Solar. En el artículo 
publicado por el diario "Clarín" de Argentina, del 16 de septiembre de 2011, se anunció el descubrimiento del primer sistema planetario circumbinario del que se tiene conocimiento. Este sistema se denomina: KEPLER (AB).
El KEPLER (AB) fue descubierto mediante el empleo del telescopio espacial Kepler, de la NASA, cuya misión consiste en el reconocimiento y recopilación de datos de exoplanetas. En su descripción, el sistema circumbinario KEPLER (AB) tiene dos estrellas o "soles" que orbitan entre sí en torno a un centro común de masas. Estos astros se denominan:
Estrella Principal o Madre: KEPLER A (AB), a la que llamaremos A.
Estrella Secundaria: KEPLER B (AB), a la que llamaremos B.
Mientras que, al planeta que orbita estos dos astros se lo llama:
KEPLER 16 (AB) b (o también Kepler16b), al que llamaremos K.
En un diagrama simplificado mostramos la distribución y los elementos que componen el sistema:
El Esquema precedente (Fig. 1), esta fuera de escala pero muestra claramente la distribución de los elementos que conforman el sistema. La figura detalla el sistema principal en el cual orbitan los dos soles A y B en torno a un centro común de masas (+), luego, el Planeta K barre su órbita con un radio vector que parte desde dicho centro.
Cuando apareció la noticia del descubrimiento de este sistema, las cuestiones que surgieron inmediatamente fueron: ¿Cómo es el movimiento de este sistema?; ¿Cómo se describen las órbitas? En definitiva, el nudo central de este artículo está enfocado en la descripción cinemática de este sistema circumbinario.
Según los datos obtenidos, este sistema sería equivalente a tener a Saturno orbitando a medio camino entre Venus y la Tierra, lo que nos hace pensar en un sistema en el cual la fuerza gravitatoria entre sus elementos traería aparejadas profundas perturbaciones debido a la relativa cercanía entre ellos.
Luego de investigar varios modelos orbitales, el que mas se adecua a la verificación numérica de los datos es el que presentamos a continuación, razón por la cual, vamos a realizar algunas comprobaciones matemáticas de poca complejidad, utilizando para ellas algunas propiedades sencillas de las elipses. Para este desarrollo fue necesario primeramente estudiar el sistema central, que es la descripción orbital de las estrellas centrales principales A y B, sin considerar ninguna perturbación por parte del planeta para, luego, incorporar el análisis del comportamiento del planeta circumbinario Kepler 16b.
A diferencia de nuestro propio Sistema Solar donde este centro común de masas se encuentra dentro del radio del Sol, en este tipo de sistemas, los "soles" orbitan en torno a un centro de masas común a ambos que a su vez es exterior, es decir, en este tipo de sistemas el Centro de masas (Cm) se encuentra fuera de los radios de ambos cuerpos y siempre es mas cercano al más masivo siendo:
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MA: Masa de la Estrella A MB: Masa de la Estrella B + Cm: Centro común de masas RA: Radio Vector de A RB: Radio Vector de B |
Y en el cual se verifica la siguiente relación:
| MA . RA = MB . RB |
DESCRIPCION Y ANALISIS DE LOS DATOS DEL SISTEMA
La noticia del descubrimiento del sistema Kepler (AB), apareció en los medios de comunicación aportando, como es costumbre, pocos datos científicos y muchos datos fantasiosos, como la comparación con una Película de la Guerra de las Galaxias en la cual aparece un planeta llamado "Tatooine". Este planeta ficticio tiene dos soles y en esta imagen, nuestro héroe, Luke Skywalker contempla una bella aurora con estos soles sobre el horizonte.
Sinceramente, nos gustaría que Kepler16b sea siquiera parecido a Tatooine, pero no, lamentablemente, el análisis de los datos nos habla de un planeta que es por lo menos helado, oscuro e inhabitable a tal punto que el día más cálido en este planeta es aun mas frío que el día mas frío registrado en nuestro planeta, por citar solo un ejemplo entre tantos que podrían enumerarse. Hubo que investigar en varias páginas de Internet a fin de obtener datos más fidedignos para poder trabajar numéricamente el análisis de este sistema planetario circumbinario, una de las más completas la encontramos en: http://www.kepler.nasa.gov/Mission/discoveries/kepler16b/
Para la descripción y estudios de los datos del sistema, vamos a dejar establecido que los datos se transformarán al sistema MKS, y debido a que las cifras con las que vamos a trabajar son muy grandes, se utilizará una adecuación al sistema de notación científica obviando las unidades a fin de aportar mayor claridad y simplicidad a los cálculos. Así mismo, si el lector no está interesado en la matemática con el que se intenta describir al sistema, puede perfectamente obviar los cálculos y leer solo los resultados sin que ello afecte a la comprensión del presente articulo.
Así mismo, si el lector no está interesado en la matemática con que se intentará describir al sistema, puede perfectamente obviar los cálculos y leer solo los resultados sin que ello afecte a la comprensión del presente articulo.
DATOS DEL SISTEMA BINARIO CENTRAL
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Estrella A: Kepler A(AB) - (La más masiva) |
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Masa: 0,6897 Ms (Masas Solares) = 1,372479 . 1030 kg Radio: 0,6489 Rs (Radios Solares) = 4,516344 . 108 m Temperatura Efectiva = 4450 Kº Tipo Espectral = K Metalicidad [Fe/H] = -0,3 |
| Estrella B: Kepler B(AB) - (la menos masiva) |
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Masa: 0,20255 Ms = 0,39782 . 1030 kg Radio: 0,22623 Rs = 1,5745608 . 108m |
CARACTERÍSTICAS ORBITALES DEL SISTEMA BINARIO PRINCIPAL
Según los datos recopilados, el sistema binario central (que es el que componen las Estrellas principales A y B), como habíamos dicho, orbitan en torno a un centro común de masas, el cual es mas cercano a la Estrella A, en elipses semejantes, que comparten un solo foco, pero no así el otro foco, ni sus respectivos centros.
Cuando hablamos de elipses semejantes estamos diciendo que ambas guardan la misma proporción entre sus respectivos semiejes, siendo (a) para denominar al semieje mayor y (b) para el semieje menor, (c) para la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos y la excentricidad la denotamos con la letra (e).
En este Sistema Circumbinario que estamos estudiando solo contamos con los datos correspondientes a la Elipse u órbita de la Estrella B, que es la mas exterior al Sistema Central (Ver Fig. 1). Siendo:
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Período (PB): 41,079 días = 3,549225 . 106 seg Semieje mayor de la Elipse (aB): 0,224 UA = 33,6 .109 m Excentricidad:(eB)= 0,15944 Masa Total del Sistema Central ( MA + MB) : 0,89225 Ms = 1,770299. 1030 Kg |
DATOS DEL PLANETA Kepler 16(AB)b
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Semieje mayor de la órbita (aK): 0,7048 UA = 106,17 . 109 m Excentricidad(eK) : 0,0069 Período Orbital Sideral (PK): 228,776 días = 19,766246 seg Masa (MK): 0,3333 Masa de Júpiter = 0,6329367 . 1027 kg Radio (RK): 0,7538 Radio de Júpiter 5,2699 . 107 kg Temperatura : [-101º ; -73º] Grados Centígrados o Celsius. Inclinación: 90,0322º Densidad: 0,964 g/cm3 Gravedad (Aceleración media)= 14,52 m/s2 |
DATOS GENERALES DEL SISTEMA
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Ubicación: Constelación de Cygnus (El Cisne) |
CALCULO DE LOS ELEMENTOS DEL SISTEMA
Para calcular los elementos del sistema, vamos a establecer que, en primer lugar desarrollaremos todos los aspectos correspondientes solo al sistema principal (El que conforman las Estrellas A y B) y luego haremos los cálculos que vinculan a este con su planeta (el Kepler 16 (AB)b).
CALCULANDO LOS ELEMENTOS ORBITALES DE LA ESTRELLA B
La imagen de la Figura 3 está fuera de escala y su propósito es ilustrativo, a fin de mostrar los elementos que vamos a calcular. (Recordemos que eB = 0,15944 y aB = 33,6 .109 m)
Entonces, siendo por la excentricidad de la elipse que: eB = cB / aB
Despejando cB y reemplazando valores, calculamos la distancia del centro de la elipse B al centro común de masas, asi:
cB = 5,357184 . 109 m
luego, vamos a hallar la longitud del semieje bB, para esto sabemos que en toda elipse se verifica:
aB2 = bB2 + cB2
despejando bB y reemplazando valores tenemos que:
bB = 33,17017606 . 109 m
Como podemos observar, comparando los valores obtenidos para aB y bB se hace evidente que la órbita que describe la Estrella B es casi circular.
Ahora nos queda calcular la longitud del Radio Vector RB en la posición del ápside superior, que es la distancia en la que la Estrella B se encuentra más alejada del centro común de masas Cm. Esto es lo que mas se acerca al concepto de Apoastro, ya que para este caso debería llamarse "APOCENTRO", debido a que este sistema principal no tiene un astro central como nuestro viejo y conocido sistema solar. Entonces siendo que:
RB = cB + aB
reemplazando valores, calculamos el valor para RB
RB = 38,957184 . 109 m
CALCULANDO LOS ELEMENTOS ORBITALES DE LA ESTRELLA A
La Estrella A es la mas masiva y a su vez es la mas interior al Sistema Central, como habíamos mencionado, la órbita que describe este astro es una elipse semejante a la elipse de la Estrella B, por lo tanto tendrá la misma excentricidad y sus semiejes serán proporcionales a los de la elipse mas exterior.
En la ilustración (Fig 4). Como vemos las elipses son semejantes y comparten un solo foco el cual es el centro común de masas (Cm) del sistema. Pero no así sus centros OA y OB ni sus otros focos.
Ahora vamos a calcular los elementos de la órbita de la estrella A comenzando por averiguar la distancia RA que es el radio vector que recorre A, a partir del Centro común de masas (Cm) del sistema principal.
Cuando calculamos RB elegimos aquella posición en la cual la estrella B estaba mas alejada del Cm, también sabemos que los radios vectores no son constantes porque barren elipses. Además, para que se mantenga la conservación del momento angular, si tomamos el radio vector "mas largo" de B, es necesario para calcular el valor de RA considerar el radio "mas corto", es decir, vamos a considerar el RA en el punto que el astro se encuentra en el "PERICENTRO", o sea, la distancia mas corta en la que se encuentra la Estrella A del Cm para lo cual empleamos la fórmula:
MA . RA = MB . RB
Luego, reemplazando valores y despejando RA, obtenemos que:
RA = 11,29193739 .109 m
Ahora bien, una vez que tenemos a RA, este dato aún no nos dice nada sobre la distancia que en ese punto tiene la Estrella A hasta el centro OA de su propia elipse, dicho de otro modo, el cálculo precedente no nos permite determinar la longitud del semieje mayor aA de la órbita de A. (ver Fig 4). Pero si recordamos que las elipses son semejantes entonces ambas tienen la misma excentricidad, Así que, operando algebraicamente podremos obtener los datos faltantes.
Para esto partimos de la fórmula de la excentricidad, entonces si
εA = cA / aA
y si consideramos que aA = RA + cA
Como podemos ver, la incógnita que necesitamos despejar primeramente es cA, que es la distancia que hay entre el centro (Cm) de masas y el centro (OA) de la elipse de la estrella A y una vez que logramos expresar a cA en valores ya conocidos, solo tenemos que calcular y resolver, así que:
cA = 2,141889332 . 109 m
y luego:
aA = 13,43382672 . 109 m
Ahora, ya podemos calcular la longitud del semieje menor bA de la Elipse de A, tomando como base la siguiente fórmula:
aA2 = bA2 + cA2
que se cumple, como ya dijimos, para toda elipse, entonces despejando bA y reemplazando valores, tenemos que:
bA = 13,26197611 . 109 m
y como era de esperarse, al comparar los semiejes aA y bA , nos indica que la elipse se acerca mucho a una órbita circular, y en la misma proporción a la que describe la estrella B. de modo tal que, al ser elipses semejantes. Se cumplen las siguientes relaciones:
bB / bA = aB / aA = cB / cA = 2,5
es decir que la elipse de la estrella B es 2,5 veces mas grande que la órbita que describe la estrella A.
CALCULANDO LOS ELEMENTOS ORBITALES DEL PLANETA KEPLER 16B
Una vez vistos los aspectos cinemáticos del sistema principal, al incorporar el Planeta Kepler 16b a los cálculos, debemos tener en cuenta que tiene una enorme masa relativa a su sistema principal y también está muy cercano a este sistema.
Como habíamos dicho, la comparación sería que aproximadamente el Kepler 16b es a su propio sistema como si Saturno orbitara al Sol a la distancia de Venus. De este modo es fácil advertir que las perturbaciones gravitatorias que atacan al centro común de masas son enormes.
En la primera parte, consideramos a este centro de masas independientemente del planeta Kepler 16b para facilitar los cálculos, pero sucede que el centro común de masas lo es también para el planeta, como sucede en todo sistema planetario.
Sabemos por los datos obtenidos que el centro común de masas tiene una velocidad angular aproximada de unos -32.769 Km/seg. Esto quiere decir que el Cm del Sistema no permanece fijo sino que también órbita en torno a un punto virtual que es aquel donde el centro de masas debería, teóricamente, permanecer fijo.
Este giro del baricentro seguramente es causado por el enorme "tirón" gravitatorio que ejerce el planeta Kepler 16b sobre el sistema principal y a su vez, la órbita que describe el Cm, debe tener un radio que, para calcularlo primeramente, es necesario analizar los elementos de la órbita propia del planeta.
De este modo, partiendo de la excentricidad de la elipse del Planeta Kepler 16b, tenemos:
εK = cK / aK
Como εK y aK son datos conocidos, solo tenemos que reemplazar valores y despejar cK
Entonces cK = 0,732573 .109 m
Volviendo a aplicar la ecuación: aK2 = bK2 + cK2 podemos despejar bK y calcular su valor siendo
bK= 106,1674726 . 109 m
Con este resultado se corroboran los datos, viéndose claramente que la órbita del planeta Kepler 16b es prácticamente circular. Además los datos y las animaciones muestran que el sentido de traslación en su órbita es contrario al sentido de traslación del sistema principal, por lo cual, si tomamos como sistema de referencia a este ultimo, la velocidad del planeta tiene convencionalmente signo negativo al igual que la velocidad angular del centro de masas.
A su vez, si calculamos la velocidad angular de Kepler 16b durante un período sidéreo completo, considerando una órbita prácticamente circular, la fórmula que deberíamos utilizar es:
VK = -2ΠRK / PK
VK = -6,28318307 x 106,17 .109 m / 19,766246 . 106 seg
Entonces
VK = - 33,741874453 . 103 m/seg (aproximadamente).
Luego, los datos recopilados también dicen que el sistema principal se comporta gravitatoriamente, respecto al planeta como si fuera una sola masa. De este modo para averiguar la distancia Rs del centro de masas entre el sistema principal y el planeta utilizaremos la siguiente ecuación:
(MA + MB) . RS = MK . RK
Reemplazando valores y despejando RS tenemos que
RS = 0,03822097 . 109 m
Que a su vez equivale aproximadamente a unos 38000 Km, o sea una décima parte de la distancia Tierra - Luna y este es el Radio en el cual gira el Centro común de masas de todo el sistema planetario circumbinario.
Ahora bien, si comparamos las velocidades angulares del planeta Kepler 16b y del centro de masas, veremos que en primer lugar, tienen el mismo sentido y a la vez, prácticamente el mismo módulo, con una diferencia menor a 1 km/seg, razón por la cual parece válido dar por cierto el supuesto que la rotación del centro de masas es debido a la perturbación ejercida por el planeta.
Además, es de notar que la relación de los períodos PK / PS = 5,58, es decir que mientras el planeta recorre una órbita completa, el sistema principal lo hace 5,58 veces.
En un diagrama simplificado, y a la mejor escala posible, podemos ver los elementos del sistema completo y sus respectivos sentidos de traslación en sus órbitas.
PARA FINALIZAR
A partir de estudiar el movimiento de este sistema, surgen un sinfín de preguntas respecto a futuros descubrimientos de otros sistemas circumbinarios. Entre ellas, algunas podrían ser:
Si la mayoría de las estrellas tienen conformación binaria: ¿Será nuestro propio sistema solar un caso especial de sistema planetario?
¿Puede traer el estudio de los sistemas circumbinarios nuevas leyes "keplerianas"?
¿Serán los sistemas circumbinarios un tipo de solución al problema de los tres cuerpos?
¿Las órbitas circulares serán la única posibilidad de comportamiento de estos sistemas?
¿Serán habitables?, ¿Cuáles serán las condiciones de habitabilidad en estos sistemas?
El refinamiento de los datos, la dinámica y el álgebra vectorial seguramente darán luz a muchas de estas cuestiones, mientras tanto, seguiremos, como siempre, observando el cielo.
Hasta la próxima.
| GLOSARIO
Apocentro: Es un término nuevo, análogo al concepto de Apoastro, solo que en este caso es el punto en el cual un planeta se encuentra mas alejado del centro común de masas del sistema principal. Centro común de masas: También llamado Baricentro. Es el punto de equilibrio entre las fuerzas gravitatorias que ejercen 2 o más cuerpos entre sí. Circumbinario (Sistema): Es un término nuevo que describe a un sistema planetario que en su centro tiene 2 "soles". Excentricidad: Es un coeficiente adimensional que varía entre 0 y 1 y nos dice cuan achatada es una elipse. Cuanto mas pequeño es este número, la elipse mas se acerca a una circunferencia; por el contrario, cuanto más de aproxima a 1, más alargada es. MKS: Es un sistema de medidas de la Física, en el cual toda distancia, masa y tiempo se mide respectivamente en Metros, Kilogramos y Segundos. Período Sidéreo: Es el tiempo en el cual un astro ocupa dos veces consecutivas la misma posición respecto a un marco de estrellas fijas. Pericentro: También es un término nuevo, análogo al concepto de Periastro, es el punto en que un planeta se halla más cercano al centro común de masas. 109m: En notación científica equivale a hablar de un millón de kilómetros.
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA Donato Di Pietro - GEOMETRIA ANALITICA - Ed. Alsina - 1975 Alejandro Felstein y Horacio Tignanelli - OBJETIVO UNIVERSO - Ed. Colihue - 2005 Wikipedia - EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
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