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Lic. Hipólito Falcoz

A comienzos del siglo XVII el propio Kepler había advertido la imposibilidad de un universo infinito dado que en tal caso el cielo nocturno debería ser más brillante que el día normal. La energía que llegaría a la Tierra sería tan grande que los océanos se evaporarían. Sin embargo tal situación no se observaba. Hacia los comienzos del siglo XIX el tema fue retomado por el astrónomo alemán Olbers del observatorio de Bremen y desde entonces al problema se lo conoce como la "paradoja de Olbers".

¶Si el universo fuese infinito, la fuerza gravitatoria a la cual se vería sometida la Tierra en cualquier dirección sería infinita, y lo mismo ocurriría con la cantidad de luz. Un observador mirando en cualquier dirección necesariamente vería una estrella y toda la bóveda celeste aparecería cubierta de estrellas en una noche sin zonas de oscuridad. El gran astrónomo Edmundo Halley razonando erróneamente suponía que la luz que recibíamos de estrellas muy distantes sería despreciable y eso explicaría por qué vemos oscuro al cielo nocturno.

La observación de un cielo estrellado en una noche dentro de un universo infinito puede compararse a la experiencia de observar los árboles en un monte ilimitado. Desde el interior de la plantación un observador puede mirar hasta cierta distancia y ver un fondo continuo poblado totalmente de árboles. La profundidad que puede observar depende de dos factores: la distancia promedio entre árboles y el grosor promedio de los mismos. Cuanto más rala sea la plantación y más finos sus ejemplares mayor será la distancia que podrá observar; en cambio en un monte espeso, poblado de árboles gruesos, el horizonte se encontrará a corta distancia. En el caso del "monte estelar", estamos mirando ejemplares infinitamente delgados ubicados a grandes distancias unos de otros, por consiguiente la frontera se encontrará muy alejada.

Daremos los argumentos matemáticos para probar las ideas de Olbers. Partimos de los siguientes supuestos:

a) el universo es espacialmente infinito;
b) la densidad volumétrica de estrellas es constante (el número de estrellas es igual en volúmenes iguales);
c) el flujo de energía (cantidad de energía por unidad de área y de tiempo) que recibimos de una estrella disminuye con el cuadrado de la distancia.

El primer supuesto es el que se deriva del modelo newtoniano; el segundo considera un universo uniforme y el tercero es una ley muy conocida de la radiación. Esto último significa que si una fuente de luz (estrella) produce sobre una superficie una cierta luminosidad, la misma estrella ubicada a una distancia doble produce una luminosidad cuatro veces menor, y si la distancia se hace tres veces mayor la luminosidad cae nueve veces, es decir, disminuye con el cuadrado de la distancia. También lo podemos pensar de la siguiente manera: si consideramos la superficie de una esfera centrada en una fuente que emite energía, en un cierto intervalo de tiempo pasa a través de su superficie una cantidad de energía. Al considerar una esfera con radio doble al primero, en el mismo tiempo la misma cantidad de energía pasa por su superficie, pero esta es cuatro veces mayor que la primera y por consiguiente el flujo de energía disminuyó con el cuadrado de la distancia.

Si consideramos el espacio dividido en zonas concéntricas de igual espesor, sus radios irán aumentando a medida que consideramos sectores más alejados. Como el volumen de cada sector aumenta con el cuadrado de la distancia y la energía recibida de las estrellas disminuye en la misma proporción (con el cuadrado de la distancia) resulta que la Tierra recibiría igual cantidad de energía cualquiera sea el sector considerado. El total de luz que llegaría se obtendrá multiplicando el valor saliente de un sector por el número de sectores vistos desde nuestra posición. Los cálculos nos muestran que nos llegaría desde los cielos unas 180 mil veces mayor cantidad de luz que la recibida del Sol; todo el cielo sería una superficie iluminada, sin embargo esto es contrario a lo que observamos y así surgió la paradoja de Olbers ¿por qué el cielo nocturno es oscuro? La solución de la paradoja está relacionada con la edad del universo. No podemos ver a lo largo de todo el camino de visibilidad; el universo es finito en el tiempo y por consiguiente sólo la luz de las estrellas que se encuentran más cercanas que una determinada distancia pueden iluminar a nuestro planeta y hacerse visibles en el cielo nocturno. El hecho habitual de que el cielo por las noches es oscuro es la indicación de que el universo no es eterno; nació en un instante dado hace mucho o hace poco, pero tuvo un comienzo.

Al tener la velocidad de la luz un valor finito (casi 300.000 Km./seg.) sólo la luz de las estrellas dentro de una distancia determinada habrá tenido tiempo suficiente de alcanzar la Tierra desde el inició del universo en el llamado Big Bang. Si nuestro universo tuviera una edad de unos pocos segundos, solo veríamos la Luna; recién después de ocho minutos de antigüedad se vería al Sol. Luego tendría que esperarse cuatro años para que se haga visible alfa del Centauro y así iríamos recibiendo luz de más y más direcciones a medida que el universo envejece.


Apéndice Matemático

Consideremos al espacio dividido en sectores de un espesor fijo Δr y de un radio r. La densidad volumétrica de estrellas sea "n"; como los sectores van aumentando el volumen, también aumentará el número de estrellas en cada uno. Si nombramos con N al número total en un sector tendremos:

Número de estrellas en un sector = densidad de estrellas x volumen del sector

En términos matemático tenemos:

N = n x 4  π r² x Δr

Por su parte el flujo energético de una estrella es:

e = L / (4  π r²)

donde L es la luminosidad de la estrella. Haciendo la suposición de que todas tienen el mismo valor promedio de L, entonces la cantidad de energía por unidad de área y de tiempo que recibimos de todas las estrellas que habitan en aquel sector será:

E = N x e
E = n x 4  π r²  x Δr x L / (4  π r² )
E = n x Δr x L

Un resultado sorprendente que nos indica que la cantidad de luz que recibimos de un sector es constante e independiente de la distancia al mismo. Recibimos la misma cantidad de luz, ya sea que el sector estelar se encuentre cerca o lejos de nosotros.

Esto significa que la energía total recibida será la suma de iguales cantidades por el número de sectores que serán visibles (de acuerdo al tamaño de las estrellas y de su separación).

Calculemos cuantos sectores serían vistos si consideramos que la distancia media entre las estrellas es de 1 (uno) pársec. Para ello consideremos estrellas del tipo del Sol; el área cubierta por una estrella de radio R tiene un tamaño de:

Área de la estrella = π x R² 

Por su parte el área de la superficie de la esfera de radio r (sector) es:

Área de la superficie del sector = 4 x π x r²

Entonces la fracción del área de la esfera que es cubierta por una estrella del tipo del Sol (radio R) es:

F = área de una estrella / superficie del sector = (π x R² ) / (4 x π x r² ) = (R / 2r)² 

Esto es cuando se considera una sola estrella en el sector; como vimos anteriormente el número de estrellas en el sector de radio r, espesor Δr y densidad estelar n es dado por N = n x 4  π r²  x Δr, en tal caso la fracción del área cubierta por las N estrellas respecto a la superficie del sector es:

F = área de las N estrellas / superficie del sector = (R / 2r )²  x (n x 4 π r²  x Δr)


quedando:

F = π x n x Δr x R²

siendo nuevamente un resultado independiente de la distancia r (distancia al sector considerado).

Entonces si la densidad es de una estrella por pársec cúbico, el ancho del sector de un pársec y el radio medio R de 700 mil kilómetros tenemos:

F es del orden 5x 10-16

Esto implica que veríamos el cielo totalmente estrellado (luz proveniente de todas las direcciones) si el número de sectores es justamente el valor inverso al calculado para F; de ese modo la fracción sería la unidad. Veríamos estrellas hasta una distancia D dada por:

D = 3,26 x (1 / F) ≈ 6,5 x 1015 años luz

Donde el factor 3,26 es el de conversión entre pársec y año luz, dado que estamos considerando que el ancho de cada sector es de un pársec. Este valor corresponde a un universo unas 500 mil veces más antiguo que el valor actualmente aceptado.